La Paradoja de Parrondo

En el mundo científico resulta ya habitual oír hablar de la Juan Manuel Rodríguez Parrondo, investigador del Departamento de Física de la Universidad Complutense de Madrid. Dicho investigador saltó a la palestra en el año 99 tras formular su universalmente conocida paradoja. Dicha paradoja nace en el momento en el cual Parrondo junto con sus colaboradores busca una explicación al inquietante e inesperado movimiento hacia la derecha en el que se ve envuelta una molécula celular sometida a dos impulsos aleatorios hacia la izquierda.

La paradoja, por poner un ejemplo muy sencillo, es la formulación matemática de la conocida máxima que dice que dos padres feísimos pueden tener hijas guapísimas. Pero como es lógico, este no es el ejemplo que utilizaremos para lanzar luz sobre esta interesante paradoja. Para verlo con claridad realizaremos un experimento en el que se vera con claridad como podemos llegar a construir un experimento aleatorio con tendencia a ganar, a partir de dos con la tendencia contraria.

            Realizaremos por tanto dos juegos :

	Juego A
	Probabilidad de ganar	Probabilidad de perder
	1/2 - e	1/2 + e

El primero consiste en el simple lanzamiento de una moneda sesgada. Supondremos que el jugador se encuentra en medio de una escalera. El jugador pretende llegar hasta arriba de la escalera por medio del juego. Si gana en el juego A, subirá un escalón y si pierde bajará uno.

 Dado que la los sucesos acierto y fallo no son equiprobables, vemos claramente que este en un juego con una tendencia al fallo y que de jugarlo un numero suficientemente elevado de veces llegaríamos hasta la base de la escalera. Así este juego parece muy tonto, de forma que para darle mayor dramatismo imaginémonos que el peldaño en el que se encuentra el jugador representa su capital. Si llega abajo a la base de la escalera se encontrara arruinado.

  

Proponemos ahora al jugador un segundo juego algo mas complejo. En este juego hay dos monedas sesgadas con distintas probabilidades de acierto y de fallo cada una. Imaginémonos ahora que la escalera en la que se encuentra el jugador tiene los peldaños numerados. El juego B consistirá en que  si el jugador se encuentra en el momento de realizar el juego en un peldaño múltiplo de 3 (se encontrara en un peldaño u otro según el resultado de aciertos o fallos en tiradas anteriores), lanzara una moneda con una clara tendencia a hacerle perder (probabilidad de acierto 1/10 -e ), en caso de que no se encuentre en un peldaño múltiplo de 3 lanzara una moneda también sesgada, pero esta vez en su favor (probabilidad de acierto 3/4-e).

  

Juego B
Es su capital múltiplo de 3?
NO			SÍ
Moneda 2	Probabilidad de ganar	Probabilidad de perder	Moneda 3	Probabilidad de ganar	Probabilidad de perder
	3/4 - e	1/4 + e		1/10 - e	9/10 + e

 El jugador se podrá encontrar en tres situaciones, en un escalón múltiplo de 3, en escalón múltiplo de 3 + 1, o bien en escalón múltiplo de 3 + 2. Si el jugador se encuentra por ejemplo en el peldaño 8, la probabilidad de subir al 9 será de casi el 75%, puesto que tirara la moneda buena y la de descender de casi el 25%. Vemos de esta forma que las tiradas se encuentran “encadenadas” al resultado precedente, con lo que tendremos aquí una cadena de Markov.

Intuitivamente pensamos que este será un juego con tendencia a ganar pues parece razonable el creer que emplearemos la moneda buena en 2 de cada 3 tiradas. Pero fijándonos bien vemos que la frecuencia no tiene porque ser esta, pues la moneda que empleemos vendrá determinada en función de la altura en escalones en la que nos encontremos. El siguiente ejemplo nos hace ver que la moneda mala se utiliza con mayor frecuencia que 1/3

Situándose el jugador en el peldaño 9, tira la moneda mala, con lo que tendrá casi el 90% de probabilidad de descender. Estando en el peldaño 8, lanza la moneda buena que le da casi un 75% de probabilidad de ascender, lo cual le obliga de nuevo a usar la moneda mala. En este cortísimo ejemplo, de las 3 tiradas realizadas, 2 se realizan con la moneda tendente al fallo. La conclusión será por tanto que también jugando un numero suficiente de veces al juego B acabaremos en la base de la escalera.

   

 Llegados a este punto, ya hemos observado como ambos juegos nos llevarían a grandes perdidas a largo plazo jugados independientemente. Ahora bien, la realizando un juego que sea combinación de los dos anteriores es cuando nos topamos con la paradoja, puesto que el nuevo juego nos resultará favorable. Lo curioso es que dicha paradoja se da independientemente de la secuencia que sigan estos juegos. Quiere decir esto que eligiendo en cada escalón, al azar que juego jugamos, obtendremos ganancias a largo plazo, aunque la ganancia máxima la obtendremos siguiendo la secuencia AABBAABBAABB...

 

Como es lógico, esta paradoja se da bajo condiciones muy concretas. Si uno va al casino, no debe pensar que acabará ganando si juega a dos juegos mal. En el experimento realizado se da la paradoja a causa del “efecto trinquete” (ratchet). Este efecto se da de la siguiente forma : El juego A actúa como un “mecanismo de trinquete”.Un trinquete es una pestaña que hace que una rueda dentada tan solo pueda girar en un sentido (mecanismo de las carracas o de los relojes cinéticos) y por tanto acumule las ganancias obtenidas en cada giro.

La tendencia ganadora del juego combinado ya se encuentra en B (aunque jugando tan solo a B este tendencia ganadora se ve enmascarada por la moneda mala). La misión del juego A en el juego combinado es la de redistribuir las frecuencias con las que se juegan las monedas del juego B, haciendo que la moneda buena se lance en un mayor numero de ocasiones. De modo que el “efecto trinquete” causado por A, hace que se acumulen las ganancias que nos da la moneda buena del juego B, obteniendo así ganancias netas.

Desde su formulación se ha investigado acerca de sus posibles aplicaciones a otros campos alejados de la física. Se especula con la posibilidad de encontrar nuevas formas  para separar moléculas, crear pequeños motores e incluso con encontrar aplicaciones genéticas de la paradoja. De hecho el proceso evolutivo se cree que puede deberse a “mecanismos de trinquete” semejantes a los vistos, que en lugar de ganancias en peldaños hayan llevado al hombre al estado actual de complejidad.

Los economistas son los que mas aplicación han encontrado de momento a la paradoja. El Dr. Sergei Maslov recientemente publicó la demostración de cómo un inversor compartiendo capital entre dos bolsas de valores a la baja, obtiene un incremento de su capital en lugar de la esperada bancarrota. Aunque admite que es aun pronto para aventurarse a aplicar el experimento al modelo de mercado actual dada su complejidad.

La paradoja tiene también manifestaciones sociales. Parrondo se aventuró a comentar en una entrevista lo siguiente: “ En educación es mejor esperar a que el buen comportamiento surja de forma espontánea y premiarlo, que tratar de imponerlo por la fuerza. La primera estrategia emplearía un “mecanismo de trinquete” y la segunda la del empujón (que además de antipática parece resultar poco eficaz). De igual forma se ha contemplado la posibilidad de que dos malos indicadores como son la tasa de nacimiento y la de mortalidad, de encontrarse ambos en declive puedan generar consecuencias favorables.